Question

11．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且3bcosB=acosC+ccosA，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2．
（1）求cosB及△ABC的面積S；
（2）若b=3，且a＞c，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理將邊化角可得，利用和角公式可得cosB，根據平面向量的數量積公式可得ac=6，帶入面積公式即可求出面積；
（2）利用余弦定理可得a²+c²=13，從而求出a，b的值，再利用正弦定理即可得出sinC．

解答 解：（1）∵3bcosB=acosC+ccosA，
∴3sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=2，∴ac=6，
∵sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{2}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-9}{12}$=$\frac{1}{3}$，
∴a²+c²=13，
又ac=6，a＞c，
∴a=3，b=2．
由正弦定理得$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$，
∴sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，屬于中檔題．