Question

15．已知S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項和•且S₄=S₃+3a₃，a₂=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）設(shè)b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運用等比數(shù)列的通項公式可得首項和公比，即可得到所求通項公式；
（2）求得b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ；運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
S₄=S₃+3a₃，a₂=9，可得
a₄=S₄-S₃=3a₃，即q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=3，
a₁q=9，可得a₁=3，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁q^n-1=3ⁿ；
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ；
則前n項和T_n=1•3¹+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ；
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹；
兩式相減可得，-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹；
化簡可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．