Question

6．已知數(shù)列滿足：${a_1}=1，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}+1，（{n∈{N^*}}）$，若${b_{n+1}}=（{n-λ}）（{\frac{1}{a_n}+1}）$，b₁=-λ，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為λ＜2．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比為2，再代值得到b_n+1=（n-λ）•2ⁿ，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可求出λ的范圍．

解答 解：∵${a_1}=1，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}+1，（{n∈{N^*}}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，化為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{a}_{n}}$+2
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比為2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴b₂＞b₁，
∴（1-λ）•2＞-λ，
解得λ＜2，
故答案為：λ＜2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了變形利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法、單調(diào)遞增數(shù)列，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．