Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=$\frac{t}{t-1}$a_n-n（t＞0且t≠1，n∈N^*）
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式（用t，n表示）
（2）當t=2時，令c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，證明$\frac{2}{3}$≤c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，a₁=t-1，a_n+1+1=t（a_n+1），由此能證明{a_n+1}是以t為首項，以t為公比的等比數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）${c}_{n}=\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用裂項求和法求出T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，由此能證明$\frac{2}{3}$≤c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=$\frac{t}{t-1}$a_n-n（t＞0且t≠1，n∈N^*），
∴由題意當n=1時，a₁=t-1，…（2分）
∵S_n=$\frac{t}{t-1}$a_n-n，①
∴S_n+1=$\frac{t}{t-1}$a_n+1-（n+1），②
②-①得a_n+1=ta_n+t-1，即a_n+1+1=t（a_n+1），
∴{a_n+1}是以t為首項，以t為公比的等比數(shù)列   …（4分）
∴數(shù)列{a_n}的通項公式${a}_{n}={t}^{n}-1$．…（6分）．
（2）${c}_{n}=\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．…（8分）
令T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
則T_n=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}-\frac{1}{15}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．…（10分）
∵T_n單調(diào)遞增，∴當n=1時，（T_n）_min=$\frac{2}{3}$，當n趨向無窮大時，T_n趨近1．
∴$\frac{2}{3}$≤c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1．…（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列定義、通項公式、裂項求和法等基礎知識，考查抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查應用意識、創(chuàng)新意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．