Question

4．已知函數(shù)g（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，且g（x）≠0，設(shè)p：函數(shù)$f（x）=g（x）（{\frac{1}{{1-{2^x}}}-\frac{1}{2}}）$是偶函數(shù)；q：函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，則p是q的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 判定h（x）=$\frac{1}{1-{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$（x≠0）是奇函數(shù)，進(jìn)而再利用函數(shù)的奇偶性、充要條件的判定即可得出．

解答 解：令h（x）=$\frac{1}{1-{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$（x≠0），則h（-x）+h（x）=$\frac{1}{1-{2}^{-x}}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1-{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{1-{2}^{x}}$-1=0，
∴函數(shù)h（x）（x≠0）是奇函數(shù)．
∴函數(shù)$f（x）=g（x）（{\frac{1}{{1-{2^x}}}-\frac{1}{2}}）$是偶函數(shù)?函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，
則p是q的充要條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、充要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．