Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\sqrt{3}x+y-4=0$，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）曲線C₃：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t＞0，$0＜α＜\frac{π}{2}$）分別交C₁，C₂于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)α取何值時(shí)，$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$取得最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，求曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}=\frac{ρ_2}{ρ_1}$=$\frac{1}{4}×2sinα（{\sqrt{3}cosα+sinα}）$=$\frac{1}{4}（{\sqrt{3}sin2α-cos2α+1}）$=$\frac{1}{4}[{2sin（{2α-\frac{π}{6}}）+1}]$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閤=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，C₁的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ-4=0$，
C₂的普通方程為x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，對應(yīng)極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．
（Ⅱ）曲線C₃的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ＞0，$0＜α＜\frac{π}{2}$）
設(shè)A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），則${ρ_1}=\frac{4}{{\sqrt{3}cosα+sinα}}$，ρ₂=2sinα，
所以$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}=\frac{ρ_2}{ρ_1}$=$\frac{1}{4}×2sinα（{\sqrt{3}cosα+sinα}）$=$\frac{1}{4}（{\sqrt{3}sin2α-cos2α+1}）$=$\frac{1}{4}[{2sin（{2α-\frac{π}{6}}）+1}]$，
又$0＜α＜\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{6}＜2α-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以當(dāng)$2α-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$時(shí)，$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$取得最大值$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．