Question

13．某學校為鼓勵家校互動，與某手機通訊商合作，為教師伴侶流量套餐，為了解該校教師手機流量使用情況，通過抽樣，得到100位教師近2年每人手機月平均使用流量L（單位：M）的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如下：若將每位教師的手機月平均使用流量分布視為其手機月使用流量，并將頻率為概率，回答以下問題．
（1）從該校教師中隨機抽取3人，求這3人中至多有1人月使用流量不超過300M的概率；
（2）現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐，詳情如下：

套餐名稱	月套餐費（單位：元）	月套餐流量（單位：M）
A	20	300
B	30	500
C	38	700

這三款套餐都有如下附加條款：套餐費月初一次性收取，手機使用一旦超出套餐流量，系統(tǒng)就自動幫用戶充值200M流量，資費20元；如果又超出充值流量，系統(tǒng)就再次自動幫用戶充值200M流量，資費20元/次，依此類推，如果當流量有剩余，系統(tǒng)將自動清零，無法轉(zhuǎn)入次月使用．
學校欲訂購其中一款流量套餐，為教師支付月套餐費，并承擔系統(tǒng)自動充值的流量資費的75%，其余部分由教師個人承擔，問學校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟？說明理由．

Answer 1

分析 （1）記“從該校隨機抽取一名教師，該教師手機月使用流量不超過300M”為事件D，依題意，P（D）=0.3，從該校教師中隨機抽取3人，設(shè)這3人中手機月使用流量不超過300M的人數(shù)為X，則X～B（3，0.3），由此能求出從該校教師中隨機抽取3人，至多有一人手機月使用流量不300M的概率．
（2）依題意，從該校隨機抽取一名教師，該教師手機月使用流量L∈（300，500]的概率為0.6，L∈（500，700]的概率為0.1，分別求出三各套餐的數(shù)學期望，能得到學校訂購B套餐最經(jīng)濟．

解答 解：（1）記“從該校隨機抽取一名教師，該教師手機月使用流量不超過300M”為事件D，
依題意，P（D）=（0.0008+0.0022）×100=0.3，
從該校教師中隨機抽取3人，設(shè)這3人中手機月使用流量不超過300M的人數(shù)為X，則X～B（3，0.3），
∴從該校教師中隨機抽取3人，至多有一人手機月使用流量不300M的概率為：
P（X=0）+P（X=1）=${C}_{3}^{0}（0.3）^{0}（0.7）^{3}+{C}_{3}^{1}（0.3）（0.7）^{2}$=0.784．
（2）依題意，從該校隨機抽取一名教師，
該教師手機月使用流量L∈（300，500]的概率為：（0.0025+0.0035）×100=0.6，
L∈（500，700]的概率為：（0.0008+0.0002）×100=0.1，
當學校訂購A套餐時，設(shè)學校為一位教師承擔的月費用為X元，
則X的所有可能取值為20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1，
∴X的分布列為：

X	20	35	50
P	0.3	0.6	0.1

∴E（X）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32（元）．
當學校訂購B套餐時，設(shè)學校為一位教師承擔的月費用為Y元，
則Y的可能取值為30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1，
∴Y的分布列為：

Y	30	45
P	0.9	0.1

E（Y）=30×0.9+45×0.1=31.5，
當學校訂購C套餐時，設(shè)學校為一位教師承擔的月費用為Z元，
則Z的所有可能取值為38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38，
∵E（Y）＜E（X）＜E（Z），
∴學校訂購B套餐最經(jīng)濟．

點評 本題考查頻率分布直方圖、獨立重復試驗、數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想，是中檔題．