Question

16．已知數(shù)列$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{3×4}$，…$\frac{1}{n×（n+1）}$，…，S_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和
（1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄并猜想計(jì)算S_n的公式
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄的值，根據(jù)規(guī)律猜想S_n；
（2）先驗(yàn)證n=1猜想成立，假設(shè)n=k猜想成立，再推導(dǎo)n=k+1猜想成立即可．

解答 解：（1）S₁=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$=$\frac{2}{3}$，
S₃=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=$\frac{3}{4}$，S₄=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$=$\frac{4}{5}$，
猜想：S_n=$\frac{n}{n+1}$．
（2）顯然n=1時(shí)，猜想成立；
假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)猜想成立，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
∴S_k+1=S_k+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{{k}^{2}+2k+1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k+1}{k+2}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立．
∴對(duì)任意n∈N⁺，猜想都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．