Question

18．已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₂，a₃是方程x²-5x+6=0的兩個實根．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{${{a_n}•{2^n}}\right.$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）求出方程的根，求解數(shù)列的思想與公差，即可求解通項公式．
（2）利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）方程x²-5x+6=0的兩個實根為2，3，由題意得a₂=2，a₃=3，設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則d=a₃-a₂=3-2，=1，從而a₁=1，所以數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n．
（2）由（1）知，${a_n}•{2^n}=n•{2^n}$，
∴${S_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n•{2^n}$①
∴$2{S}_{n}=1×{2}^{2}+2×{2}^{3}+…+（n-1）{•2}^{n}+n•{2}^{n+1}$②
①-②得，$-{S_n}=2+（{{2^2}+{2^3}+…+{2^n}}）-n•{2^{n+1}}=\frac{{2×（{1-{2^n}}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}$=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，∴${S_n}=（{n-1}）•{2^{n+1}}+2$．

點評 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列通項公式以及數(shù)列求和，考查計算能力．