Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x+a|，若f（x）的最小值為2．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a＞0，且m，n均為正實(shí)數(shù)，且滿足m+n=a，求m²+n²的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，得到關(guān)于a的方程，解出即可；
（2）求出m+n=6，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出m²+n²的最小值即可．

解答 解：（1）①當(dāng)$-1＞-\frac{a}{2}$時(shí)，即a＞2時(shí)，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-（1+a），x≤-\frac{a}{2}\\ x+a-1，-\frac{a}{2}＜x＜-1\\ 3x+（a+1），x≥-1\end{array}\right.$，
則當(dāng)$x=-\frac{a}{2}$時(shí)，$f{（x）_{min}}=f（-\frac{a}{2}）=|{-\frac{a}{2}+1}|+|{-a+a}|=2$，
解得a=6或a=-2（舍）；
②當(dāng)$-1＜-\frac{a}{2}$時(shí)，即a＜2時(shí)，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-（1+a），x≤1\\-x+1-a，-1＜x＜-\frac{a}{2}\\ 3x+（a+1），x≥-\frac{a}{2}\end{array}\right.$，
則當(dāng)$x=-\frac{a}{2}$時(shí)，$f{（x）_{min}}=f（-\frac{a}{2}）=|{-\frac{a}{2}+1}|+|{-a+a}|=2$，
解得a=6（舍）或a=-2，
③當(dāng)$-1=-\frac{a}{2}$時(shí)，即a=2，f（x）=3|x+1|，
此時(shí)f（x）_min=0，不滿足條件，
綜上所述，a=6或a=-2；
（2）由題意知，m+n=6，
∵（m+n）²=m²+n²+2mn≤（m²+n²）+（m²+n²）=2（m²+n²）當(dāng)且僅當(dāng)m=n=3時(shí)取“=”，
∴m²+n²≥18，所以m²+n²的最小值為18．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．