分析 (Ⅰ)由f(n)=2n−32n+1f(n-1),(n≥2,n∈N*),可求得f(2),f(3),f(4)的值,
(Ⅱ)從而可猜想f(n)關(guān)系式.按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟:先證明n=1時命題成立,再假設(shè)當n=k時結(jié)論成立,去證明當n=k+1時,結(jié)論也成立,從而得出命題對任意的n≥2恒成立.
解答 解:(Ⅰ)由已知得f(n)=2n−32n+1f(n-1),(n≥2,n∈N*)
當n=2時,f(2)=4−34+1×f(1)=15×13=115,…(2分)
同理可得f(3)=135,f(4)=163…6 分
(Ⅱ)猜想f(n)=1(2n−1)(2n+1)(∗)…(7分)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(*)成立
①當n=1,2,3,4時,由上面的計算結(jié)果知(*)成立…(8分)
②假設(shè)n=k(k≥4,k∈N*)時,(*)成立,即f(k)=1(2k−1)(2k+1),
那么當n=k+1時,f(k+1)=2k−12k+3f(k)=2k−12k+3•1(2k−1)(2k+1)…(10分)
即f(k+1)=1[2(k+1)−1][2(k+1)+1]∴當n=k+1時,(*)也成立 …(11分)
綜合①②所述,對?n∈N*,f(n)=1(2n−1)(2n+1)成立. …(12分)
點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法,考查推理證明的能力,假設(shè)n=k(k∈N*)時命題成立,去證明則當n=k+1時,用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √13 | B. | 8 | C. | 8√2 | D. | 16 |
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A. | \frac{1}{6} | B. | \frac{1}{3} | C. | \frac{1}{2} | D. | 1 |
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