Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E的方程為x26+y23=1,直線(xiàn)l:y=12x與橢圓E相交于A(yíng),B兩點(diǎn),C,D是橢圓E上異于A(yíng),B兩點(diǎn),且直線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)M,直線(xiàn)AD,BC相交于點(diǎn)N,求證:直線(xiàn)MN的斜率為定值.

分析 聯(lián)立{y=12xx26+y23=1,解得A(2,1),B(-2,-1).①當(dāng)CA,CB,DA,DB斜率都存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)CA,DA的斜率分別為k1,k2,C(x0,y0),顯然k1≠k2;可得:k1•kCB=-12,kCB=-12k1;同理kDB=-12k2,于是直線(xiàn)AD的方程為y-1=k2(x-2),直線(xiàn)BC的方程為y+1=-12k1(x+2);聯(lián)立解得:點(diǎn)N的坐標(biāo)為4k1k24k122k1k2+12k1k24k2+12k1k2+1;用k2代k1,k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo).可得kMN=4k2k14k1k2=-1;即直線(xiàn)MN的斜率為定值-1;②當(dāng)CA,CB,DA,DB中,有直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),根據(jù)題設(shè)要求,至多有一條直線(xiàn)斜率不存在,故不妨設(shè)直線(xiàn)CA的斜率不存在,從而C(2,-1);仍然設(shè)DA的斜率為k2,由①知kDB=-12k2;即可得出.

解答 證明:聯(lián)立{y=12xx26+y23=1,解得{x=2y=1,或{x=2y=1,從而A(2,1),B(-2,-1);
①當(dāng)CA,CB,DA,DB斜率都存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)CA,DA的斜率分別為k1,k2,C(x0,y0),
顯然k1≠k2;
從而k1•kCB=y01x02y0+1x0+2=y201x204=31x2061x204=-12
∴kCB=-12k1;
同理kDB=-12k2,
于是直線(xiàn)AD的方程為y-1=k2(x-2),直線(xiàn)BC的方程為y+1=-12k1(x+2);
{y+1=12k1x+2y1=k2x2,解得{x=4k1k24k122k1k2+1y=2k1k24k2+12k1k2+1,從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為4k1k24k122k1k2+12k1k24k2+12k1k2+1;
用k2代k1,k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo)為4k1k24k222k1k2+12k1k24k1+12k1k2+1
∴kMN=2k1k24k1+12k1k2+12k1k24k2+12k1k2+14k1k24k222k1k2+14k1k24k122k1k2+1=4k2k14k1k2=-1;
即直線(xiàn)MN的斜率為定值-1;
②當(dāng)CA,CB,DA,DB中,有直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),
根據(jù)題設(shè)要求,至多有一條直線(xiàn)斜率不存在,
故不妨設(shè)直線(xiàn)CA的斜率不存在,從而C(2,-1);
仍然設(shè)DA的斜率為k2,由①知kDB=-12k2;
此時(shí)CA:x=2,DB:y+1=-12k2(x+2),它們交點(diǎn)M(2,-1-2k2);
BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它們交點(diǎn)N(2-2k2,-1),
從而kMN=-1也成立.
綜上可得:kMN=-1為定值.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題、斜率計(jì)算公式,考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

8.已知圓C的圓心為點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)R(3,2)在圓C上,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(-1,0)且與圓C相交P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)M是線(xiàn)段PQ的中點(diǎn).
(1)求圓C的方程:
(2)若AMAC=9,求直線(xiàn)l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.一種計(jì)算裝置,有一數(shù)據(jù)入口A(yíng)和一個(gè)運(yùn)算出口B,按照某種運(yùn)算程序:①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí),從B口得到13,記為f1=13;②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n(n≥2)時(shí),在B口得到的結(jié)果f(n)是前一個(gè)結(jié)果f(n-1)的2n112n1+3倍.
(Ⅰ)當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2,3,4時(shí),從B口分別得到什么數(shù)?
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)試猜想f(n)的關(guān)系式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.一個(gè)袋子中有k個(gè)紅球,4個(gè)綠球,2個(gè)黃球,這些球除顏色外其他完全相同.從中一次隨機(jī)取出2個(gè)球,每取得1個(gè)紅球記1分、取得1個(gè)綠球記2分、取得1個(gè)黃球記5分,用隨機(jī)變量X表示取到2個(gè)球的總得分,已知總得分是2分的概率為112
(Ⅰ)求袋子中紅球的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.已知圓O為單位圓:x2+y2=1,點(diǎn)A(1,0),B為單位圓上的動(dòng)點(diǎn),如圖,以AB為邊作正方形ABCD,求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程及OD的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.直線(xiàn)l過(guò)橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的焦點(diǎn)F,且與此橢圓交于點(diǎn)A,B,若橢圓上存在一點(diǎn)M,使得OA+OB=OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓的離心率的取值范圍;
(2)橢圓上是否存在這樣一點(diǎn)M,使得四邊形OAMB為矩形,如果存在,試求出M的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

10.已知橢圓y2a2+x22=1(a>b>0)的離心率為35,兩焦點(diǎn)的距離為3,則a+b=4.5.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.已知雙曲線(xiàn)C1x2a2-y22=1(a>0,b>0)的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍.若拋物線(xiàn)C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C1的漸近線(xiàn)的距離為2,則拋物線(xiàn)C2的方程為x2=16y.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.設(shè)f(x)=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x+1,(x>0)\\{2^x},(x≤0)\end{array},若f(a)=3,則a=4.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案