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18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E的方程為x26+y23=1,直線l:y=12x與橢圓E相交于A,B兩點,C,D是橢圓E上異于A,B兩點,且直線AC,BD相交于點M,直線AD,BC相交于點N,求證:直線MN的斜率為定值.

分析 聯(lián)立{y=12xx26+y23=1,解得A(2,1),B(-2,-1).①當(dāng)CA,CB,DA,DB斜率都存在時,設(shè)直線CA,DA的斜率分別為k1,k2,C(x0,y0),顯然k1≠k2;可得:k1•kCB=-12,kCB=-12k1;同理kDB=-12k2,于是直線AD的方程為y-1=k2(x-2),直線BC的方程為y+1=-12k1(x+2);聯(lián)立解得:點N的坐標(biāo)為4k1k24k122k1k2+12k1k24k2+12k1k2+1;用k2代k1,k1代k2得點M的坐標(biāo).可得kMN=4k2k14k1k2=-1;即直線MN的斜率為定值-1;②當(dāng)CA,CB,DA,DB中,有直線的斜率不存在時,根據(jù)題設(shè)要求,至多有一條直線斜率不存在,故不妨設(shè)直線CA的斜率不存在,從而C(2,-1);仍然設(shè)DA的斜率為k2,由①知kDB=-12k2;即可得出.

解答 證明:聯(lián)立{y=12xx26+y23=1,解得{x=2y=1,或{x=2y=1,從而A(2,1),B(-2,-1);
①當(dāng)CA,CB,DA,DB斜率都存在時,設(shè)直線CA,DA的斜率分別為k1,k2,C(x0,y0),
顯然k1≠k2
從而k1•kCB=y01x02y0+1x0+2=y201x204=31x2061x204=-12,
∴kCB=-12k1;
同理kDB=-12k2
于是直線AD的方程為y-1=k2(x-2),直線BC的方程為y+1=-12k1(x+2);
{y+1=12k1x+2y1=k2x2,解得{x=4k1k24k122k1k2+1y=2k1k24k2+12k1k2+1,從而點N的坐標(biāo)為4k1k24k122k1k2+12k1k24k2+12k1k2+1
用k2代k1,k1代k2得點M的坐標(biāo)為4k1k24k222k1k2+12k1k24k1+12k1k2+1
∴kMN=2k1k24k1+12k1k2+12k1k24k2+12k1k2+14k1k24k222k1k2+14k1k24k122k1k2+1=4k2k14k1k2=-1;
即直線MN的斜率為定值-1;
②當(dāng)CA,CB,DA,DB中,有直線的斜率不存在時,
根據(jù)題設(shè)要求,至多有一條直線斜率不存在,
故不妨設(shè)直線CA的斜率不存在,從而C(2,-1);
仍然設(shè)DA的斜率為k2,由①知kDB=-12k2;
此時CA:x=2,DB:y+1=-12k2(x+2),它們交點M(2,-1-2k2);
BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它們交點N(2-2k2,-1),
從而kMN=-1也成立.
綜上可得:kMN=-1為定值.

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計算公式,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.

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