Question

4．P為雙曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1右支上一點，F₁，F₂為左、右焦點，若|PF₁|+|PF₂|=10，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=18．

Answer 1

分析 設P點坐標，根據向量數量積的坐標運算，及兩點之間距離公式，由P在橢圓上，即可求得P點坐標，即可求得答案．

解答 解：設P（x，y），由F₁，F₂分別為左、右焦點，即F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-x，y）（2-x，y）=-（4-x²）+y²=-4+x²+y²，
由P在雙曲線x²$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即3x²-y²=3，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-4+x²+y²=4x²-7，
設丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨=$\sqrt{（-2-x）^{2}+{y}^{2}}$，丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=$\sqrt{（2-x）^{2}+{y}^{2}}$，
則丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=$\sqrt{（2+x）^{2}+{y}^{2}}$+=$\sqrt{（2-x）^{2}+{y}^{2}}$=10，
將3x²-y²=3，代入上式，
解得x=$\frac{5}{2}$，
故$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-4+x²+y²=4x²-7=25-7=18，
故答案為：18，

點評 本題考查向量數量積的坐標運算，兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．