Question

5．已知定圓M：（x-3）²+y²=16和圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)A，點(diǎn)P是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，線段PA的垂直平分線l交直線PM于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）討論Q點(diǎn)的軌跡可能是下面的情形中的哪幾種：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個(gè)點(diǎn)．
（Ⅱ）若定點(diǎn)A（5，0），試求△QMA的面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）對(duì)A與圓M的位置關(guān)系進(jìn)行討論，利用圓錐曲線的定義得出結(jié)論；
（II）求出Q的軌跡所在橢圓的長(zhǎng)短軸和焦距，得出三角形面積的最大值．

解答 解：（I）∵Q是線段PA的中垂線上的點(diǎn)，∴QA=PQ，
（1）若A在圓M外部，則|QA-QM|=|PQ-QM|=PM=4，MA＞4，
∴Q點(diǎn)軌跡是以A，M為焦點(diǎn)的雙曲線；
（2）若A在圓M上，則PA的中垂線恒過(guò)圓心M，
即Q的軌跡為點(diǎn)M；
（3）若A在圓M內(nèi)部，則MA＜4，QM+QA=QM+QP=4，
∴Q點(diǎn)軌跡是以M，A為焦點(diǎn)的橢圓；
（4）若A為圓M的圓心，即A與M重合時(shí)，Q為半徑PM的中點(diǎn)，
∴Q點(diǎn)軌跡是以M為圓心，以2為半徑的圓．
綜上，Q點(diǎn)軌跡可能是①②④⑥四種情況．
（II）∵（5-3）²+0²＜16，∴A點(diǎn)在圓M內(nèi)部，且不與圓心M（3，0）重合，
∴Q軌跡是以M，A為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，
MA=2c=2，QA+MM=PM=2a=4，
∴c=1，a=2，∴b=$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)Q為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，△QMA的面積取得最大值，
△QMA面積最大值為$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的定義，性質(zhì)，屬于中檔題．