Question

6．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x（a∈R）
（1）當(dāng)a=4時(shí)，解不等式f（x）≥8；
（2）當(dāng)a∈[0，4]時(shí)，求f（x）在區(qū)間[3，4]上的最小值；
（3）若存在a∈[0，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）=x|x-4|+2x，討論當(dāng)x≥4時(shí)，當(dāng)x＜4時(shí)，去絕對值，解不等式，再求并集即可；
（2）討論當(dāng)a∈[0，3]時(shí)，當(dāng)a∈（3，4]時(shí)，去絕對值，求出對稱軸，判斷單調(diào)性，可得最小值；
（3）討論當(dāng)x＜a時(shí)，當(dāng)x≥a時(shí)，取絕對值，求出對稱軸，討論當(dāng)a∈[0，2]，當(dāng)a∈[2，4]，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得極值，可得1＜t＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$），設(shè)h（a）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$），運(yùn)用單調(diào)性可得h（a）的最大值，進(jìn)而得到所求t的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x|x-4|+2x，
當(dāng)x≥4時(shí)，x（x-4）+2x≥8，解得x≥4（x≤-2舍去）；
當(dāng)x＜4時(shí)，x（4-x）+2x≥8，解得2≤x＜4．
綜上可得，f（x）≥8的解集為[2，+∞）；
（2）當(dāng)a∈[0，3]時(shí)，f（x）=x（x-a）+2x=x²+（2-a）x，
對稱軸為x=$\frac{a-2}{2}$∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
區(qū)間[3，4]在對稱軸的右邊，為增區(qū)間，可得f（3）為最小值，即為15-3a；
當(dāng)a∈（3，4]時(shí)，當(dāng)3＜x＜a時(shí)f（x）=x（a-x）+2x=-x²+（2+a）x，
對稱軸為x=$\frac{a+2}{2}$∈（$\frac{5}{2}$，3]，區(qū)間（3，a）在對稱軸的右邊，為減區(qū)間；
當(dāng)a≤x≤4時(shí)，f（x）=x（x-a）+2x=x²+（2-a）x，
對稱軸為x=$\frac{a-2}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
區(qū)間[3，4]在對稱軸的右邊，為增區(qū)間，
即有f（a）取得最小值，且為2a．
綜上可得，a∈[0，3]時(shí)，f（x）的最小值為15-3a；
a∈（3，4]時(shí)，f（x）的最小值為2a．
（3）當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=-x²+（2+a）x，對稱軸為x=$\frac{a+2}{2}$
當(dāng)a∈[0，2]知a-$\frac{a+2}{2}$=$\frac{a-2}{2}$≤0，可得x＜a為增函數(shù)；
當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x²+（2-a）x，對稱軸為x=$\frac{a-2}{2}$，
當(dāng)a∈[0，2]知a-$\frac{a-2}{2}$=$\frac{a+2}{2}$＞0，可得x≥a為增函數(shù)；
則不滿足關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
當(dāng)a∈[2，4]時(shí)，a＞$\frac{a}{2}$+1＞$\frac{a}{2}$-1，
∴y=f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$+1）上單調(diào)增，在（$\frac{a}{2}$+1，a）上單調(diào)減，
在（a，+∞）上單調(diào)增，
∴當(dāng)f（a）＜tf（a）＜f（$\frac{a}{2}$+1）時(shí)，
關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
即2a＜t•2a＜（$\frac{a}{2}$+1）²，
∵a∈[2，4]，∴1＜t＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$），
設(shè)h（a）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$），
∵存在a∈[2，4]使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴1＜t＜h（a）_max，
又可證h（a）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$）在[2，4]上單調(diào)增，
∴h（a）_max=h（4）=$\frac{9}{8}$，
∴1＜t＜$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用：解不等式和求最值、以及求參數(shù)的范圍，注意運(yùn)用分類討論思想方法和函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于難題．