Question

19．已知函數f（x）=b（x+1）lnx-x+1，斜率為1的直線與f（x）相切于（1，0）點．
（1）求h（x）=f（x）-xlnx的單調區(qū)間；
（2）證明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

分析 （1）把f（x）代入h（x），對f（x）進行求導，利用導數研究h（x）的單調區(qū)間，注意函數的定義域；
（2）結合（1）通過討論x的范圍，結合函數的單調性證明即可．

解答 解：（1）由題意知：f′（x）=b（lnx+$\frac{x+1}{x}$）-1，f′（1）=2b-1=1，b=1，
h（x）=f（x）-xlnx=lnx-x+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＞0解得0＜x＜1；
h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0解得x＞1；
∴h（x）=f（x）-xlnx的單調增區(qū)間（0，1）；單調減區(qū)間（1，+∞）；
（2）證明：由（1）知：
當x＞0時，
h（x）≤h（1）=-1，即lnx-x+1≤0，
當0＜x＜1時，f（x）=（x+1）lnx-x+1≤0，
當x≥1時，
f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx-x（ln$\frac{1}{x}$+1-$\frac{1}{x}$）≥0…（12分）
所以（x-1）f（x）≥0．

點評 本題是導數的深度考查的題目，綜合性較強．屬于比較難把握的題目，高考題中易出現在最后三題．