Question

4．微信紅包是一款可以實現(xiàn)收發(fā)紅包、查收記錄和提現(xiàn)的手機應用．某網(wǎng)絡運營商對甲、乙兩個品牌各5種型號的手機在相同環(huán)境下，對它們搶到的紅包個數(shù)進行統(tǒng)計，得到如表數(shù)據(jù)：

型號 手機品牌	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ
甲品牌（個）	4	3	8	6	12
乙品牌（個）	5	7	9	4	3

（Ⅰ）如果搶到紅包個數(shù)超過5個的手機型號為“優(yōu)”，否則“非優(yōu)”，請據(jù)此判斷是否有85%的把握認為搶到的紅包個數(shù)與手機品牌有關？
（Ⅱ）如果不考慮其它因素，要從甲品牌的5種型號中選出3種型號的手機進行大規(guī)模宣傳銷售．
①求在型號Ⅰ被選中的條件下，型號Ⅱ也被選中的概率；
②以X表示選中的手機型號中搶到的紅包超過5個的型號種數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望E（X）．
下面臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進行比較，K²=0.4＜2.706，可得到?jīng)]有足夠的理由認為手機系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少有關；
（Ⅱ）由題意求得X的取值1，2，3，運用排列組合的知識，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式計算即可得到（X）．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下：

紅包個數(shù) 手機品牌	優(yōu)	非優(yōu)	合計
甲品牌（個）	3	2	5
乙品牌（個）	2	3	5
合計	5	5	10

…（2分）
${K^2}=\frac{{10{{（{4-9}）}^2}}}{5×5×5×5}=\frac{10×25}{25×25}=0.4＜2.072$，
所以沒有85%的理由認為搶到紅包個數(shù)與手機品牌有關．                …（4分）
（Ⅱ）①令事件C為“型號 I被選中”；事件D為“型號 II被選中”，
則$P（C）=\frac{C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}\;，\;P（CD）=\frac{C_3^1}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，
所以$P（\left.D\right|C）=\frac{P（CD）}{P（C）}=\frac{1}{2}$．                                        …（6分）
②隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，…（7分）
$P（{X=1}）=\frac{C_3^1•C_2^2}{C_5^3}=\frac{3}{10}$；
$P（{X=2}）=\frac{C_2^1C_3^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$；
$P（{X=3}）=\frac{C_3^3}{C_5^3}=\frac{1}{10}$．   …（10分）
故X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴數(shù)學期望E（X），$E（X）=1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}=1.8$．…（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗知識的運用，考查超幾何分布的計算公式、分布列和數(shù)學期望及其排列與組合的計算公式，考查計算能力，屬于中檔題．