Question

6．已知直線l：x+$\sqrt{2}y=4\sqrt{2}$與橢圓C：mx²+ny²=1（n＞m＞0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)$M[{2\sqrt{2}，2}]$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足QB⊥AB，連接AQ交橢圓于點(diǎn)P，求$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OP}$的值．

Answer 1

分析 （1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式為0，橢圓經(jīng)過當(dāng)點(diǎn)，聯(lián)立求出m，n即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)Q（4，y₀），P（x₁，y₁），又A（-4，0），B（4，0），求出直線AQ的方程為$y=\frac{y_0}{8}（x+4）$．聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及心理的數(shù)量積回家求解即可．

解答 解：（1）直線l：x+$\sqrt{2}y=4\sqrt{2}$代入橢圓C：mx²+ny²=1（n＞m＞0）可得：（n+2m）y²-16my+32m-1=0，
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)$M[{2\sqrt{2}，2}]$．△=16²m²-4（n+2m）（32m-1）=0，
并且：8m+4n=1，解得m=$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{8}$．
橢圓C的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）設(shè)Q（4，y₀），P（x₁，y₁），又A（-4，0），B（4，0），∴$\overrightarrow{OP}=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow{OQ}=（4，{y_0}）$．
直線AQ的方程為$y=\frac{y_0}{8}（x+4）$．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1}\\{y=\frac{y_0}{8}（x+4）}\end{array}}\right.⇒（32+{y_0}^2）{x^2}+8{y_0}^2•x+16{y_0}^2-32×16=0$．
∴$（-4）+{x_1}=-\frac{{8{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}⇒{x_1}=4-\frac{{8{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}$．
$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OP}=4{x_1}+{y_0}{y_1}$=$4{x_1}+{y_0}•\frac{y_0}{8}（x+4）$=$4（{4-\frac{{8{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}}）+\frac{{{y_0}^2}}{8}（{8-\frac{{8{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}}）$
=$16-\frac{{32{y_0}^2}}{{32+{y_0}^2}}+{y_0}^2-\frac{{{y_0}^4}}{{32+{y_0}^2}}=16$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量與橢圓的關(guān)系，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想設(shè)而不求思想方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．