Question

3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢，各穿幾何”，翻譯過(guò)來(lái)就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，這個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問(wèn)題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為1000尺，則需要幾天時(shí)間才能打穿（結(jié)果取整數(shù)）（　�。�

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 設(shè)需要n天時(shí)間才能打穿$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$≥1000，化為：2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-999≥0，令f（n）=2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-999，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理與函數(shù)的單調(diào)性即可得出

解答 解：設(shè)需要n天時(shí)間才能打穿，則$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$≥1000，
化為：2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-999≥0，
令f（n）=2ⁿ-$\frac{2}{{2}^{n}}$-999，則f（10）=1024-$\frac{1}{512}$-999＞0．
f（9）=512-$\frac{1}{256}$-999＜0．
f（x）=${2}^{x}-\frac{2}{{2}^{x}}$-999，（x≥1）．
∴f（x）在（9，10）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)．
又函數(shù)f（x）在x≥1時(shí)單調(diào)遞增，因此f（x）在（9，10）內(nèi)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)．
∴需要10天時(shí)間才能打穿．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)存在定理與函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．