Question

20．已知點(diǎn)P為圓（x-2）²+y²=1上的點(diǎn)，直線l₁為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，l₂為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，P到l₁、l₂的距離分別為d₁、d₂，那么d₁d₂的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{9}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+cosθ，sinθ），求出點(diǎn)P到直線l₁、l₂的距離d₁、d₂，利用函數(shù)的性質(zhì)求出d₁d₂的最小值．

解答 解：點(diǎn)P在圓（x-2）²+y²=1上，設(shè)P（2+cosθ，sinθ），
則點(diǎn)P到直線l₁：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x的距離為
d₁=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}（2+cosθ）-sinθ|}{\sqrt{{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$，
點(diǎn)P到直線l₂：y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x的距離為
d₂=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}（2+cosθ）+sinθ|}{\sqrt{{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}{+1}^{2}}}$，
∴d₁•d₂=$\frac{|{\frac{3}{2}cos}^{2}θ+2cosθ+1|}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$|$\frac{3}{2}$${（cosθ+\frac{2}{3}）}^{2}$+$\frac{1}{3}$|≥$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=-$\frac{2}{3}$時(shí)，d₁d₂取得最小值為$\frac{2}{9}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用函數(shù)求最值的問(wèn)題，是中檔題．