Question

15．三角形ABC中，BC=4，且$AB=\sqrt{3}AC$，則三角形ABC面積最大值為$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，則AB=$\sqrt{3}$x，根據(jù)面積公式得S_△ABC=2xsinC，由余弦定理求得 cosC代入化簡 S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{192-（{x}^{2}-16）^{2}}$，由三角形三邊關(guān)系求得 2$\sqrt{3}$-2＜x＜2$\sqrt{3}$+2，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：設(shè)AC=x，則AB=$\sqrt{3}$x，根據(jù)面積公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$•x•4•sinC=2xsinC，
由余弦定理可得 cosC=$\frac{8-{x}^{2}}{4x}$，
∴S_△ABC=2x $\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=2x$\sqrt{1-（\frac{8-{x}^{2}}{4x}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{192-（{x}^{2}-16）^{2}}$．
由三角形三邊關(guān)系有：x+$\sqrt{3}$x＞4且x+4＞$\sqrt{3}$x，解得 2$\sqrt{3}$-2＜x＜2$\sqrt{3}$+2，
故當 x=4時，S_△ABC取得最大值4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，計算量較大，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．