Question

10．以下說法正確的是④_．（填寫所有正確命題的序號）
①不等式$\frac{x+8}{{x}^{2}+2x+3}$＜2 與不等式$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+8}$＞$\frac{1}{2}$ 解集相同；
②已知命題p：“若a=0，則ab=0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”，命題q：“若a∈M，則b∉M”與命題“若b∈M，則a∉M”等價，則p∨q為真命題，p∧q為假命題；
③命題“$?{x_0}∈R，{2^{x_0}}≤0$”的否定是“?x∉R，2^x＞0”；
④已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（4，$\frac{1}{2}$），則$f（2）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 求出第一個不等式的解集，再由第二個不等式分母有意義判斷①；分別判斷命題p、q為真命題，再由復合命題的真假判斷判斷②；直接寫出特稱命題的否定判斷③；由已知求出冪函數(shù)的解析式，進一步求出f（2）判斷④．

解答 解：①、由$\frac{x+8}{{x}^{2}+2x+3}$＜2，得2x²+4x+6＞x+8，解得x＜-2或x$＞\frac{1}{2}$，
∴不等式$\frac{x+8}{{x}^{2}+2x+3}$＜2的解集為{x|x＜-2或x$＞\frac{1}{2}$}，而不等式$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+8}$＞$\frac{1}{2}$的解集中不含有-8，故①錯誤；
 ②、命題p：“若a=0，則ab=0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”，命題P為真命題．
∵“若a∈M，則b∉M”與命題“若b∈M，則a∉M”互為逆否命題，
∴命題q：“若a∈M，則b∉M”與命題“若b∈M，則a∉M”等價，命題q為真命題．
則p∨q為真命題，p∧q為真命題，故②錯誤；
③、命題“$?{x_0}∈R，{2^{x_0}}≤0$”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，故③錯誤；
④、設冪函數(shù)為y=x^α，把點（4，$\frac{1}{2}$）代入，可得$\frac{1}{2}={4}^{α}$，∴α=$-\frac{1}{2}$，
∴冪函數(shù)為f（x）=${x}^{-\frac{1}{2}}$，則f（2）=${2}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④正確．
∴正確命題的序號是④．
故答案為：④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查復合命題的真假判斷，訓練了冪函數(shù)解析式的求法，是中檔題．