分析 (1)由點T(-2,$\sqrt{3}$)在橢圓Γ上,且|TF1|+|TF2|=8,列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓的方程.
(2)設(shè)直線OP:y=kx,聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$,求出|OP|2,同理求出|OQ|2,由此能證明|OP|2+|OQ|2為定值.
(3)當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)l:y=k(x+1),由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$,得(1+4k2)x2+8k2x+(4k2-16)=0,推導(dǎo)出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$,當(dāng)l與x軸垂直時,l:x=-1,A(-1,$\frac{\sqrt{15}}{2}$),B(-1,-$\frac{\sqrt{15}}{2}$),從而$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$,由此能求出結(jié)果.
解答 解:(1)∵橢圓Γ:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,
點T(-2,$\sqrt{3}$)在橢圓Γ上,且|TF1|+|TF2|=8,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=8}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}=1}\end{array}\right.$,解得a=4,b=2,
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1.
證明:(2)設(shè)直線OP:y=kx,
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$,得x=$±\frac{4}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$,
∴|OP|2=${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$,
又直線OQ:$y=\frac{1}{4k}x$,
同理,得|OQ|2=$\frac{16+16(\frac{1}{4k})^{2}}{1+4(\frac{1}{4k})^{2}}$=$\frac{4+64{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$,
∴|OP|2+|OQ|2=$\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+\frac{4+64{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{20+80{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=20,為定值.
解:(3)當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)l:y=k(x+1),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(t,0),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$,得(1+4k2)x2+8k2x+(4k2-16)=0,
又$\overrightarrow{MA}$=(x1-t,y1),$\overrightarrow{MB}$=(x2-t,y2),
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(x1-t)(x2-t)+k(x1+1)•k(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(k2-t)(x1+x2)+(k2+t2)=$\frac{({t}^{2}-16)+(4{t}^{2}+8t-11){k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$,
令$\frac{{t}^{2}-16}{1}=\frac{4{t}^{2}+8t-11}{4}$,得t=-$\frac{53}{8}$,此時$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$,
當(dāng)l與x軸垂直時,l:x=-1,A(-1,$\frac{\sqrt{15}}{2}$),B(-1,-$\frac{\sqrt{15}}{2}$),
又M(-$\frac{53}{8}$,0),∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$,
綜上,M(-$\frac{53}{8}$,0),$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$.
點評 本題考查橢圓方程的求法,考查代數(shù)式為定值的證明,考查滿足向量的數(shù)量積為定值的點是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運用.
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A. | (-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4}$) | B. | (-∞,-$\frac{1}{4}$)∪($\frac{1}{4}$,+∞) | C. | (-$\frac{1}{4}$,0)∪(0,$\frac{1}{4}$) | D. | ∅ |
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