Question

2．某學校有長度為14米的舊墻一面，現準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126m²的活動室，工程條件是：
①建1m新墻的費用為a元；
②修1m舊墻的費用是$\frac{a}{4}$元；
③拆去1m舊墻所得的材料，建1m新墻的費用為$\frac{a}{2}$元，經過討論有兩種方案：
（1）問如何利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房的一面邊長；
（2）矩形活動室的一面墻的邊長x≥14，利用舊墻，即x為多少時建墻的費用最��？
（1）（2）兩種方案，哪種方案最好？

Answer 1

分析 設利用舊墻的一面邊長x米，則矩形另一邊長為$\frac{126}{x}$米．然后對x分類求出總費用y關于x的函數式，通過最值之間的關系比較進行選擇．

解答 解：設利用舊墻的一面邊長x米，則矩形另一邊長為$\frac{126}{x}$米．
（1）方案：當x＜14米時，修舊墻費用為x•$\frac{a}{4}$元，拆舊墻造新墻費用為（14-x）•$\frac{a}{2}$元，
其余新墻費用：（2x+$2×\frac{126}{x}$-14）•a元．
∴總費用y=7a（$\frac{x}{4}+\frac{36}{x}$-1）$≥7a•（2\sqrt{\frac{x}{4}•\frac{36}{x}}-1）=35a$（元），
當x=12時，y_min=35a元；
（2）方案：當x≥14米時，利用舊墻費用為14•$\frac{a}{4}$=$\frac{7a}{2}$元，建新墻費用為（2x+$2×\frac{156}{x}$-14）a元
∴總費用為：y=2a（x+$\frac{126}{x}$）-$\frac{21}{2}$a（元），
設f（x）=x+$\frac{126}{x}$（x≥14），則f′（x）=1-$\frac{126}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-126}{{x}^{2}}$，
當x≥14時，f'（x）＞0，f（x）為增函數，
∴f（x）_min=f（14）=35.5a元．
由35a＜35.5a，可知采用（1）方案更好些．
答：采用（1）方案更好些

點評 本題考查函數模型的選擇及應用，訓練了利用基本不等式及導數求最值，是中檔題．