Question

4．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于4．
（1）求拋物線的方程
（2）若等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線方程為y²=±2px（p＞0），由題意可得$\frac{p}{2}=4，p=8$，可得拋物線的方程；
（2）不妨以拋物線y²=16x進(jìn)行計(jì)算．
 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得∠AOx=30°，可設(shè)直線OA的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$得A（48，16$\sqrt{3}$），B（48，-16$\sqrt{3}$）．
即等邊三角形AOB的邊長(zhǎng)為AB=32$\sqrt{3}$

解答 解：（1）設(shè)拋物線方程為y²=±2px（p＞0），由題意可得$\frac{p}{2}=4，p=8$
∴拋物線的方程為y²=±16x；
（2）不妨以拋物線y²=16x進(jìn)行計(jì)算．
∵等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得（如圖）
∠AOx=30°，可設(shè)直線OA的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$得A（48，16$\sqrt{3}$）
根據(jù)對(duì)稱性得B（48，-16$\sqrt{3}$）．
∴AB=32$\sqrt{3}$，∴等邊三角形AOB的邊長(zhǎng)為32$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的方程、性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．