4.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于4.
(1)求拋物線的方程
(2)若等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,求這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng).

分析 (1)設(shè)拋物線方程為y2=±2px(p>0),由題意可得$\frac{p}{2}=4,p=8$,可得拋物線的方程;
(2)不妨以拋物線y2=16x進(jìn)行計(jì)算.
 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得∠AOx=30°,可設(shè)直線OA的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$得A(48,16$\sqrt{3}$),B(48,-16$\sqrt{3}$).
即等邊三角形AOB的邊長(zhǎng)為AB=32$\sqrt{3}$

解答 解:(1)設(shè)拋物線方程為y2=±2px(p>0),由題意可得$\frac{p}{2}=4,p=8$
∴拋物線的方程為y2=±16x;
(2)不妨以拋物線y2=16x進(jìn)行計(jì)算.
∵等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得(如圖)
∠AOx=30°,可設(shè)直線OA的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$得A(48,16$\sqrt{3}$)
根據(jù)對(duì)稱性得B(48,-16$\sqrt{3}$).
∴AB=32$\sqrt{3}$,∴等邊三角形AOB的邊長(zhǎng)為32$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的方程、性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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