Question

13．已知f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1（a∈R）．
（Ⅰ）當a=-1時，求曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當0≤a≤$\frac{1}{2}$時，試討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=-1代入函數(shù)解析式，求出導函數(shù)，得到f'（2），再求出f（2），利用直線方程的點斜式可得曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{a-1}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}$（x＞0），令g（x）=-ax²+x+a-1，分a=0，$a=\frac{1}{2}$和$0＜a＜\frac{1}{2}$三類可得函數(shù)的單調區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）當a=-1時，$f（x）=lnx+x+\frac{2}{x}-1，\;\;f'（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}$，則f'（2）=1，
又f（2）=ln2+2，
∴曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程為：y-（ln2+2）=x-2，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{a-1}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x+a-1}}{x^2}$（x＞0），
令g（x）=-ax²+x+a-1，
①當a=0時，g（x）=x-1，
當x≥1時，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上單調遞增；
當0＜x＜1時，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調遞減．
②當a≠0時，由f'（x）=0，得g（x）=-ax²+x+a-1=0，解得x=1或$x=\frac{1}{a}-1$．
（i）當$a=\frac{1}{2}$時，$g（x）=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}≤0$，即f'（x）≤0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
（ii）當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{a}-1＞1$，列表如下，

x	（0，1）	1	$（{1，\;\;\frac{1}{a}-1}）$	$\frac{1}{a}-1$	$（{\frac{1}{a}-1，\;\;+∞}）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	極小	單調遞增	極大	單調遞減

由上表知，f（x）在$（0，\;\;1），\;\;（{\frac{1}{a}-1，\;\;+∞}）$上單調遞減，在$（{1，\;\;\frac{1}{a}-1}）$上單調遞增．
綜上所述：當a=0時，f（x）在（0，1）上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增；
當$a=\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，f（x）在$（0，\;\;1），\;\;（{\frac{1}{a}-1，\;\;+∞}）$上單調遞減，在$（{1，\;\;\frac{1}{a}-1}）$上單調遞增．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．