Question

1．函數(shù)y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線 $\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4；m+n的最小值為1．

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（1，1），代入直線 $\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4，再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：當(dāng)x=1時(shí)，y=log_a1+1=1，
∴函數(shù)y=log_ax+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（1，1），
∵點(diǎn)A在直線 $\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$-4=0（m＞0，n＞0）上，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=4．
∴m+n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{4}$（2+m+n），
≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$）=1，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
故答案是：4；1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．