Question

2．已知函數f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x³-4x，若函數g（x）=f（x）-a（x-2）有4個零點，則實數a的取值范圍為（0，1）．

Answer 1

分析 利用導數判斷x≥0時，f（x）=x³-4x的單調性，結合函數為偶函數作出簡圖，把函數g（x）=f（x）-a（x-2）有4個零點轉化為即方程f（x）-a（x-2）=0有4個根．
也就是函數y=f（x）與y=a（x-2）有4個不同交點．求出過（2，0）與曲線f（x）=-x³+4x（x＜0）相切的直線的斜率，則答案可求．

解答 解：f（x）=x³-4x（x≥0），
f′（x）=3x²-4=$3（{x}^{2}-\frac{4}{3}）=3（x+\frac{2\sqrt{3}}{3}）（x-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$，
當x∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）時，f′（x）＜0，當x∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上單調遞減，在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上單調遞增．
∴當x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，f（x）有極小值為$-\frac{22\sqrt{3}}{9}$．
函數g（x）=f（x）-a（x-2）有4個零點，即方程f（x）-a（x-2）=0有4個根．
也就是函數y=f（x）與y=a（x-2）有4個不同交點．
如圖：
∵函數f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x³-4x，
∴當x＜0時，f（x）=-x³+4x．
設過（2，0）的直線與曲線f（x）=-x³+4x相切于點（${x}_{0}，-{{x}_{0}}^{3}+4{x}_{0}$），
則$f′（{x}_{0}）=-3{{x}_{0}}^{2}+4$，∴切線方程為$y+{{x}_{0}}^{3}-4{x}_{0}=（-3{{x}_{0}}^{2}+4）（x-{x}_{0}）$．
代入（2，0），得${{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}+4=0$，
即（x+1）（x-2）²=0，得x=-1．
∴切線的斜率為a=-3×（-1）²+4=1．
則實數a的取值范圍為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點評 本題考查函數零點的判定定理，訓練了利用導數研究函數的單調性，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．