3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點為F，過F作斜率為2的直線l，直線l與雙曲線的右支有且只有一個公共點，則雙曲線的離心率范圍$（1，\sqrt{5}]$．

分析 由過F作斜率為2的直線l，直線l與雙曲線的右支有且只有一個公共點，可得$\frac{a}＞$2，利用e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，又e＞1．即可得出．

解答 解：∵過F作斜率為2的直線l，直線l與雙曲線的右支有且只有一個公共點，
∴$\frac{a}＞$2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$＜$\sqrt{5}$，又e＞1．
∴e∈$（1，\sqrt{5}]$．
故答案為：$（1，\sqrt{5}]$．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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