Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+ax²（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)，且y=f′（x）有零點(diǎn)，求a的值；
（2）若對(duì)?x∈[0，+∞），有$\frac{f（x）}{ax+1}$≥1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)求出a的值即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而確定滿足條件的a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+2ax，
記g（x）=e^x+2ax，則g′（x）=e^x+2a，
①a=0時(shí)，f（x）=e^x，顯然不合題意；
②a＞0時(shí)，g′（x）＞0，f′（x）在R遞增，
∵f′（0）=1＞0，f′（-$\frac{1}{2a}$）＜0，
故y=f′（x）有唯一零點(diǎn)x₁，顯然x∈（-∞，x₁）時(shí)，f′（x）＜0，
x∈（x₁，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R不單調(diào)，不合題意；
③a＜0時(shí)，由g′（x）=0得x=ln（-2a），于是f′（x）在（-∞，ln（-2a））遞減，
在（ln（-2a），+∞）遞增，因此要滿足條件，必須且只需f′[ln（-2a）]=0，
即-2a+2aln（-2a）=0，解得：a=-$\frac{e}{2}$；
（2）a＜0時(shí)，若x＞-$\frac{1}{a}$，則ax+1＜0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度知：
存在x₀，當(dāng)x＞x₀時(shí)，必有e^x＞-ax²，即e^x+ax²＞0，
因此x＞max{-$\frac{1}{a}$，x₀}，有$\frac{f（x）}{ax+1}$＜0，顯然不合題意，
當(dāng)a≥0時(shí)，記h（x）=e^x+ax²-ax-1，則$\frac{f（x）}{ax+1}$≥1當(dāng)且僅當(dāng)h（x）≥0，
h′（x）=e^x+2ax-a，顯然h′（x）在[0，+∞）遞增，
①a≤1時(shí)，由h′（0）=1-a＜1，h′（1）=e+a＞0，
得h′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
不妨設(shè)該實(shí)根為x₁，當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，h′（x）＜0，從而h（x）在（0，x₁）遞減，
故x∈（0，x₁）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，不合題意，
綜上，a的范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．