Question

3．設(shè)$a，b，c∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且滿足cosa=a，sin（cosb）=b，cos（sinc）=c，則a，b，c的大小關(guān)系為b＜a＜c．

Answer 1

分析 先利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，sinx＜x，再構(gòu)造新函數(shù)證明f（x）=sin（cosx）-x為（0，$\frac{π}{2}$）上的減函數(shù)，g（x）=cos（sinx）-x為（0，$\frac{π}{2}$）上的減函數(shù)；最后將x=a分別代入兩函數(shù)，判斷函數(shù)值正負(fù)，從而利用函數(shù)的單調(diào)性比較自變量a、b、c的大小

解答 解：先證明當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，sinx＜x
設(shè)y=sinx-x，則y′=cosx-1＜0，∴y=sinx-x為（0，$\frac{π}{2}$）上的減函數(shù)，∴y＜sino-0=0，即sinx＜x
同理可證明f（x）=sin（cosx）-x為（0，$\frac{π}{2}$）上的減函數(shù)，g（x）=cos（sinx）-x為（0，$\frac{π}{2}$）上的減函數(shù)
∵sina＜a
∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，
∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴a＜c
同理∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa
∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0
∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴a＞b
綜上所述，b＜a＜c
故答案為b＜a＜c．

點(diǎn)評 本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)，正確的研究其單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．