Question

4．2016年美國(guó)總統(tǒng)大選過后，有媒體從某公司的全體員工中隨機(jī)抽取了200人，對(duì)他們的投票結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（不考慮棄權(quán)等其他情況），發(fā)現(xiàn)支持希拉里的一共有95人，其中女員工55人，支持特朗普的男員工有60人．
（Ⅰ）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表：據(jù)此材料，是否有95%的把握認(rèn)為投票結(jié)果與性別有關(guān)？

	支持希拉里	支持特朗普	合計(jì)
男員工
女員工
合計(jì)

（Ⅱ）若從該公司的所有男員工中隨機(jī)抽取3人，記其中支持特朗普的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（用相應(yīng)的頻率估計(jì)概率）
附：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件中所給的數(shù)據(jù)，寫出列聯(lián)表；根據(jù)列聯(lián)表和求觀測(cè)值的公式，把數(shù)據(jù)代入公式，求出觀測(cè)值，把觀測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較，得到有95%的把握認(rèn)為投票結(jié)果與性別有關(guān)．
（Ⅱ）X可能取值為0，1，2，3，X～B（3，$\frac{3}{5}$），求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)已知條件，可得2×2列聯(lián)表：

	支持希拉里	支持特朗普	合計(jì)
男員工	40	60	100
女員工	55	45	100
合計(jì)	95	105	200

K²=$\frac{200（40×45-55×60）^{2}}{95×105×100×100}$≈4.51＞3.841，∴有95%的把握認(rèn)為投票結(jié)果與性別有關(guān)．
（Ⅱ）支持特朗普的概率為$\frac{3}{5}$并且X～（3，$\frac{3}{5}$）．X=0，1，2，3
P（X=0）=C₃⁰（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=C₃¹（$\frac{3}{5}$）（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，
P（X=2）=C₃²（$\frac{3}{5}$）²（$\frac{2}{5}$）=$\frac{54}{125}$，
P（X=3）=C₃³（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
其分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{8}{125}$

∴E（X）=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀與計(jì)算能力，屬于中檔題．