Question

16．在△ABC中，若a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，則cos（$\frac{π}{2}$-A）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，△ABC面積的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式可求cos（$\frac{π}{2}$-A），利用余弦定理，基本不等式可求bc≤3，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵a=2，cosA=$\frac{1}{3}$，則cos（$\frac{π}{2}$-A）=sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴由余弦定理可得：2²=b²+c²-2×b×c×$\frac{1}{3}$≥2bc-$\frac{2}{3}$bc，解得：bc≤3，（當且僅當b=c時等號成立）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．．