Question

15．在△ABC中，內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{2cosB}$=$\frac{c}{3cosC}$，則sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由$\frac{a}{cosA}$=$\frac{2cosB}$=$\frac{c}{3cosC}$，利用正弦定理，可得tanA=$\frac{1}{2}$tanB=$\frac{1}{3}$tanC，再結合和角的正切公式，同角三角函數基本關系式，即可得出結論．

解答 解：∵$\frac{a}{cosA}$=$\frac{2cosB}$=$\frac{c}{3cosC}$，
∴tanA=$\frac{1}{2}$tanB=$\frac{1}{3}$tanC，
∵tanB=tan（π-A-C）=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=-$\frac{（\frac{1}{2}+\frac{3}{2}）tanB}{1-\frac{1}{2}tanB×\frac{3}{2}tanB}$，
∴tan²B=4，
∴sinB=$\sqrt{1-\frac{1}{ta{n}^{2}B+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查正弦定理的運用，考查和角的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．