Question

7．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S_n+1=λS_n+1（λ是大于0的常數(shù)），且a₁=1，a₃=4．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式可得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=λS_n-1+1．與原遞推式作差可得a_n+1=λa_n，即n≥2時(shí)$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=λ$．驗(yàn)證a₂=λa₁，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．結(jié)合已知求得λ值，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項(xiàng)公式代入b_n=na_n，整理后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）由S_n+1=λS_n+1可知  當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=λS_n-1+1．
作差可得a_n+1=λa_n，即n≥2時(shí)$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=λ$．
又a₁=1，故a₂=λa₁．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
由于a₃=a₁λ²=4，λ＞0，解得λ=2．
數(shù){a_n}的通項(xiàng)公式為：${a_n}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）由${a_n}={2^{n-1}}$，可知${b_n}=n•{2^{n-1}}$．
設(shè)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，
則${T_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-2}}+n•{2^{n-1}}$，①
$2{T_n}=1•2+2•{2^2}+…+（n-2）•{2^{n-2}}+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$，②
①-②得：$-{T_n}=1+2+{2^2}+…+{2^{n-2}}+{2^{n-1}}-n•{2^n}$=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n}$=2ⁿ-1-n•2ⁿ．
∴${T_n}=n•{2^n}-{2^n}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．