Question

18．已知$a=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}$，則二項式${（x+\frac{a}{{\sqrt{x}}}）^6}$展開式中的常數(shù)項是240．

Answer 1

分析 利用定積分求出a，寫出展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0，即可得出結(jié)論．

解答 解：$a=\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{cosxdx}$=sinx${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，則二項式${（x+\frac{a}{{\sqrt{x}}}）^6}$=${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^6}$展開式的通項公式為${T_{r+1}}=C_6^r{2^r}{x^{6-\frac{3}{2}r}}$，
令$6-\frac{3}{2}r=0$，求得r=4，所以二項式${（x+\frac{a}{{\sqrt{x}}}）^6}$展開式中的常數(shù)項是$C_6^4$×2⁴=240．
故答案為：240．

點評 本題考查定積分知識的運(yùn)用，考查二項式定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．