Question

2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是B₁C₁、BC的中點，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁E=$\sqrt{14}$．
（Ⅰ）證明：A₁D⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角A-BD-B₁的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先證AE⊥平面A₁BC，再證A₁D∥AE即可‘’
（2）所求值即為平面A₁BD的法向量與平面B₁BD的法向量的夾角的余弦值的絕對值的相反數(shù)，計算即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是B₁C₁、BC的中點，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴A₁D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=$\sqrt{2}$，
∵A₁A=4，A₁E=$\sqrt{14}$．
∴A₁E²+AE²=$A{{A}_{1}}^{2}$，∴AE⊥A₁E，
∵A₁E∩BC=E，∴AE⊥平面A₁BC，
∵A₁D∥AE，∴A₁D⊥平面A₁BC．
解：（Ⅱ）如圖，以BC中點O為坐標原點，以O(shè)B、OA、OA₁所在直線分別為x、y、z軸建系．
易知A₁（0，0，$\sqrt{14}$），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
A（0，$\sqrt{2}$，0），D（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），B₁（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），
設(shè)平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{14}z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{7}，0，1）$．
設(shè)平面B₁BD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{14}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（0，\sqrt{7}，1）$．
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}=\frac{1}{8}$
又∵該二面角為鈍角，
∴二面角A₁-BD-B₁的平面角的余弦值為-$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．