Question

5．已知函數(shù)f （ x）=ax³+bx²+cx+d 的圖象如圖所示，則$\frac{b+1}{a+1}$的取值范圍是（　�。� 

• A． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$ ）
• B． （-$\frac{2}{5}$，1）
• C． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （-$\frac{3}{2}$，1）

Answer 1

分析 利用函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的圖象，推出a，b 的不等式組，然后求解即可．由圖象可知：經(jīng)過原點，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax³+bx²+cx．．由圖象可得：函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在x=-1處取得極大值．可得f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b＜0，3a+2b＞0，設(shè)k=$\frac{b+1}{a+1}$，求k的最值，進而得出結(jié)論．

解答 解：由圖象可知：經(jīng)過原點，∴f（0）=0=d，
∴f（x）=ax³+bx²+cx．
由圖象可得：函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在x=-1處取得極大值．
∴f′（x）=3ax²+2bx+c≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．
得到3a-2b+c=0，即c=2b-3a，
∵f′（1）=3a+2b+c＜0，
∴4b＜0，即b＜0，
∵f′（2）=12a+4b+c＞0，
∴3a+2b＞0，
設(shè)k=$\frac{b+1}{a+1}$，
建立如圖所示的坐標(biāo)系，則點A（-1，-1），
則k=$\frac{b+1}{a+1}$式中變量a、b滿足下列條件$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b＞0}\\{b＜0}\end{array}\right.$，
作出可行域如圖：
∴k的最大值就是k_AO=1，k的最小值就是k_CD，
而k_CD就是直線3a+2b=0的斜率，k_CD=-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜k＜1．
故選：D．

點評 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識與基本方法．