Question

16．已知直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），則p=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 求得OD的斜率，即可求得直線AB的方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由OA⊥OB得到A，B橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于y的方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．

解答 解：∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），則k_OD=2，
又OD⊥AB，且AB過(guò)D（1，2），
則直線AB的方程：y-2=-$\frac{1}{2}$（x-1），整理得：2y+x-5=0；
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)（x₁，y₁），點(diǎn)B的坐標(biāo)（x₂，y₂），
由OA⊥OB，則$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
則AB的直線方程為x=5-2y，
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+5=0，①
則$\left\{\begin{array}{l}{x=5-2y}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去x得：y²-4py-10p=0，
y₁+y₂=4p，y₁y₂=-10p，②
把②代入解得p=$\frac{5}{2}$，
∴p的值$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．