Question

8．設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{{|{x-1}|}}（x≠1）}\\{2（x=1）}\end{array}}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$=11．

Answer 1

分析 令f（x）=t，借助函數(shù)圖象判斷方程f（x）=t的解的情況，從而得出關(guān)于t的方程t²+bt+c=0在（0，+∞）上根的分布情況，進(jìn)而求出x₁，x₂，x₃．

解答 解：作出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

令f（x）=t，
由圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)，方程f（x）=t有3解；
當(dāng)0＜t＜2或t＞2時(shí)，方程f（x）=t有兩解；
當(dāng)t≤0時(shí)，方程f（x）=t無解．
∵關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴關(guān)于t的方程t²+bt+c=0在（0，+∞）上只有一解t=2．
令f（x）=2得x₁=-1，x₂=1，x₃=3．
∴${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$=（-1）²+1²+3²=11．
故答案為：11．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．