Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，存在單位向量$\overrightarrow{e}$，使得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{e}$）=0，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的取值范圍是[$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]．

Answer 1

分析 利用已知條件求出向量$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$，兩邊取模，再由|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，再兩邊平方，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的范圍，再求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的平方的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{e}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$，
兩邊取�？傻脇$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1|=|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$|，
而|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
即有|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
兩邊平方可得，（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1）²≤（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²，
即為（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²≤$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-1=4+4-1=7，
即-$\sqrt{7}$≤$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≤$\sqrt{7}$，
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
8-2$\sqrt{7}$=（$\sqrt{7}$-1）²≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²≤8+2$\sqrt{7}$=（$\sqrt{7}$+1）²，
即有$\sqrt{7}$-1≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤$\sqrt{7}$+1，
故答案為：[$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，考查轉(zhuǎn)化思想和不等式的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．