Question

10．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經過點$P（2，\sqrt{2}）$，一個焦點F的坐標為（2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y=kx+1與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義求出2a的值，得a、c與b²，從而寫出橢圓C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y得關于x的一元二次方程；
由判別式△和根與系數(shù)的關系，求出x₁x₂、y₁y₂的值，再求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)橢圓的定義，
2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{{（2+2）}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}$+$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{2}$，
又c=2，∴b²=a²-c²=${（2\sqrt{2}）}^{2}$-2²=4，
∴所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+2k²）x²+4kx-6=0；
又△=16k²+24（1+2k²）=64k²+24＞0，解得k∈R；
由根與系數(shù)的關系得${x_1}+{x_2}=-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{-6}{{1+2{k^2}}}$；
∴${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1=\frac{{-6{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+1=\frac{{1-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{-6}{{1+2{k^2}}}+\frac{{1-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{-8{k^2}-5}}{{1+2{k^2}}}=-4-\frac{1}{{1+2{k^2}}}$；
又-1≤-$\frac{1}{1+{2k}^{2}}$＜0，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[-5，-4）．

點評 本題考查了直線與橢圓方程的應用問題，也考查了根與系數(shù)的關系與平面向量數(shù)量積的應用問題，是中檔題．