Question

12．在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）曲線C₁橫坐標擴大為原來的兩倍，縱坐標擴大為原來的三倍得到曲線C₂．
（1）以原點為極點，x軸正半軸為極軸且單位長度一樣的極坐標系中，求曲線C₂的極坐標方程
（2）若M，N兩點在曲線C₂上，且OM⊥ON．求$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$的值．
（3）已知C₃的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+t\end{array}\right.（t為參數(shù)），P為{C_2}上的一點，求點P到直線{C_3}$的最大距離．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，求出曲線的普通方程，從而轉化為極坐標方程即可；
（2）設出M的極坐標方程，根據(jù)垂直關系求出N的坐標，表示出$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$，并代入求值即可；
（3）根據(jù)點到直線的距離公式計算即可．

解答 解：（1）依題意，得曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$，
∴C₂的普通方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$----------2，
∴C₂的極坐標方程為$\frac{{{{（ρcosθ）}^2}}}{4}+\frac{{{{（ρsinθ）}^2}}}{9}=1即\frac{{{ρ^2}cos{θ^2}}}{4}+\frac{{{ρ^2}sin{θ^2}}}{9}=1$-------3
（2）設點M極坐標為（ρ₁，θ₁），
∵OM⊥ON，∴N點的極坐標是（ρ₂，θ₁+$\frac{π}{2}$）------------5，
$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{{{cos}^2}{θ_1}}}{4}+\frac{{{{sin}^2}{θ_1}}}{9}，\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{{{cos}^2}（{θ_1}+\frac{π}{2}）}}{4}+\frac{{{{sin}^2}（{θ_1}+\frac{π}{2}）}}{9}=\frac{{{{sin}^2}{θ_1}}}{4}+\frac{{{{cos}^2}{θ_1}}}{9}$，
∴$\frac{1}{{|OM|}^{2}}$+$\frac{1}{{|ON|}^{2}}$=$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$
=$\frac{{{cos}^{2}θ}_{1}}{4}$+$\frac{{{sin}^{2}θ}_{1}}{9}$+$\frac{{{sin}^{2}θ}_{1}}{4}$+$\frac{{{cos}^{2}θ}_{1}}{9}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{13}{36}$-----------8
（3）由（1）得C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}\right.$，
C₃的普通方程為x+y-2=0-------9
設P（2cosθ，3sinθ）
∴P到直線C₃的距離d=$\frac{|2cosθ+3sinθ-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ+ω）-2|}{\sqrt{2}}$，
當sin（θ+ω）=-1時，d_max=$\frac{\sqrt{13}+2}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{26}+2\sqrt{2}}{2}$--------------11

點評 本題考查了普通方程，極坐標方程以及參數(shù)方程的轉化，考查垂直關系以及點到直線的距離，是一道中檔題．