Question

18．已知四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=4，AD=3，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，EF∥AB，EF與AD交于點(diǎn)E，沿EF將四邊形EFCD折起，使得平面ABFE⊥平面EFCD，連接AD，BC，AC．
（1）求證：BE∥平面ACD；
（2）求三棱錐的B-ACD體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AF交BE于O，則O為AF中點(diǎn)，設(shè)G為AC中點(diǎn)，連結(jié)OG，DG，推導(dǎo)出四邊形DEOG為平行四邊形，則BE∥DG，由此能證明BE∥平面ACD．
（2）點(diǎn)C到平面ACD的距離和點(diǎn)F到平面ACD的距離相等，均為2，從而三棱錐的B-ACD體積V_B-ACD=V_E-ACD=V_C-ADE，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）連結(jié)AF交BE于O，
則O為AF中點(diǎn)，設(shè)G為AC中點(diǎn)，
連結(jié)OG，DG，則OG∥CF，且OG=$\frac{1}{2}$CF．
由已知DE∥CF，且DE=$\frac{1}{2}$CF．
∴DE∥OG，且DE=OG，∴四邊形DEOG為平行四邊形．
∴EO∥DG，即BE∥DG．
∵BE?平面ACD，DG?平面ACD，
∴BE∥平面ACD．
解：（2）∵CF∥DE，∴CF∥平面AED，
∴點(diǎn)C到平面ACD的距離和點(diǎn)F到平面ACD的距離相等，均為2．
∴三棱錐的B-ACD體積V_B-ACD=V_E-ACD=V_C-ADE
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADE}×2=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．