Question

8．定義在實(shí)數(shù)域上的偶函數(shù)f（x）對(duì)于?x∈R，均滿足條件f（x+2）=f（x）+f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）

Answer 1

分析 利用f（x）的奇偶性判斷f（x）的周期，作出f（x）和y=log_a（x+1）在（0，+∞）上的函數(shù)圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷y=log_a（x+1）的特殊點(diǎn)位置．

解答 解：令x=-1得f（1）=f（-1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）的周期為2．
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有5個(gè)零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}5＞-2}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)周期與奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．