Question

3．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，直線y=1與C的兩個交點間的距離為$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分別過F₁、F₂作l₁、l₂滿足l₁∥l₂，設(shè)l₁、l₂與C的上半部分分別交于A、B兩點，求四邊形ABF₂F₁面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率為$\frac{1}{2}$，直線y=1與C的兩個交點間的距離為$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用基本不等式，求四邊形ABF₂F₁面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）易知橢圓過點$（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，1）$，所以$\frac{8}{{3{a^2}}}+\frac{1}{b^2}=1$，①…（2分）
又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，②…（3分）a²=b²+c²，③…（4分）
①②③得a²=4，b²=3，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)直線l₁：x=my-1，它與C的另一個交點為D．
與C聯(lián)立，消去x，得（3m²+4）y²-6my-9=0，…（7分）
△=144（m²+1）＞0.$|{AD}|=\sqrt{1+{m^2}}•\frac{{12\sqrt{1+{m^2}}}}{{3{m^2}+4}}$，…（9分）
又F₂到l₁的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$，…（10分）
所以${S_{△AD{F_2}}}=12\frac{{\sqrt{1+{m^2}}}}{{3{m^2}+4}}$．…（11分）
令$t=\sqrt{1+{m^2}}≥1$，則${S_{△AD{F_2}}}=\frac{12}{{3t+\frac{1}{t}}}$，所以當(dāng)t=1時，最大值為3．…（14分）
又${S_{四邊形AB{F_2}{F_1}}}=\frac{1}{2}（|{B{F_2}}|+|{A{F_1}}|）•d=\frac{1}{2}（|{A{F_1}}|+|{D{F_1}}|）•d=\frac{1}{2}|{AB}|•d={S_{△AD{F_2}}}$
所以四邊形ABF₂F₁面積的最大值為3．                …（15分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的運用，考查面積的計算，屬于中檔題．