Question

18．已知圓O：x²+y²=4及一點(diǎn)P（-1，0），Q在圓O上運(yùn)動(dòng)一周，PQ的中點(diǎn)M形成軌跡C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若直線PQ的斜率為1，該直線與軌跡C交于異于M的一點(diǎn)N，求△CMN的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），用x，y表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓O方程化簡即可；
（2）求出直線l的方程，圓心C到直線l的距離，利用勾股定理求出弦長|MN|，即可得出三角形的面積．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），則Q（2x+1，2y），
∵Q在圓x²+y²=4上，∴（2x+1）²+4y²=4，
即（x+$\frac{1}{2}$）²+y²=1．
∴軌跡C的方程是（x+$\frac{1}{2}$）²+y²=1．
（2）直線PQ方程為：y=x+1，
圓心C到直線PQ的距離為d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-ptvxlld^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴△CMN的面積為$\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．