Question

8．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB₁，BC₁的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是③．（填序號(hào)）
①EF與CC₁垂直；②EF與BD垂直；③EF與A₁C₁異面；④EF與AD₁異面．

Answer 1

分析 利用構(gòu)造平行線或平面來(lái)進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）取BB₁中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，
則EG∥AB，F(xiàn)G∥B₁C₁，
∵BB₁⊥AB，BB₁⊥B₁C₁，
∴BB₁⊥EG，BB₁⊥FG，又EG∩FG=G，
∴BB₁⊥平面EFG，
∵BB₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面EFG，
∴CC₁⊥EF．故①正確．
（2）取AB，BC的中點(diǎn)M，N，連結(jié)EM，MN，NF，
則EM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}B{B}_{1}$，F(xiàn)N$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CC₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，
∴四邊形EMNF是平行四邊形，
∴EF∥MN，
∵M(jìn)，N是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，
∴EF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴∴BD⊥EF，故②正確．
（3）∵A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁∥EF，故③錯(cuò)誤．
（4）若EF∥AD₁，∵EF∥AC，則AD₁∥AC，顯然不成立，∴EF和AD₁不平行．
若EF與AD₁相交，則AD₁，EF共面，
∵A，D₁，F(xiàn)所確定的平面為平面ABC₁D₁，∴E∈平面ABC₁D₁，
而A∈平面ABC₁D₁，∴AB₁?平面ABC₁D₁，顯然不成立，∴EF和AD₁不相交．
∴EF和AD₁異面．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間直線的位置關(guān)系判斷，屬于中檔題．