Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的定義域，判斷f（x）奇偶性，并證明；
（Ⅱ）當0＜a＜1時，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設可得$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，即可寫出函數(shù)f（x）的定義域，利用奇函數(shù)的定義判斷f（x）奇偶性；
（Ⅱ）當0＜a＜1時，不等式f（x）＞0，化為0＜1+x＜1-x，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由題設可得$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，故函數(shù)f（x）定義域為（-1，1）
從而：f（-x）=log_a[1+（-x）]-log_a[1-（-x）]=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
故f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）由題設可得log_a（1+x）-log_a（1-x）＞0，即：log_a（1+x）＞log_a（1-x），
∵0＜a＜1，∴y=log_ax為（0，+∞）上的減函數(shù)，∴0＜1+x＜1-x，解得：-1＜x＜0
故不等式f（x）＞0的解集為（-1，0）．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質，考查學生解不等式的能力，正確轉化是關鍵．