Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=BC=2a，AC=2$\sqrt{3}$a，E的PA的中點．
（Ⅰ）求證：平面BED⊥平面PAC；
（Ⅱ）求點E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，證明AC⊥平面BED，即可證明平面BED⊥平面PAC；
（Ⅱ）點E到平面PBC的距離=點O到平面PBC的距離，作OF⊥BC，垂足為F，證明OF⊥平面PBC，即可求出求點E到平面PBC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)AC∩BD=O，則EO∥AC，AC⊥BD，
∵PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，
∵AC⊥平面ABCD，
∴AC⊥EO，
∵BD∩EO=O，
∴AC⊥平面BED，
∵AC?平面PAC，
∴平面BED⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：點E到平面PBC的距離=點O到平面PBC的距離，
作OF⊥BC，垂足為F，
∵PC⊥平面ABCD，OF?平面ABCD，∴PC⊥OF，
∵BC∩PC=C，∴OF⊥平面PBC
∵AB=BC=2a，AC=2$\sqrt{3}$a，∴∠ABC=120°，
∴O到BC的距離為OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即點E到平面PBC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

點評 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的證明，考查點到平面距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．